Całka krzywoliniowa

Brak wersji przejrzanej

Całka krzywoliniowa jest to całka, gdzie obszarem całkowania jest łuk krzywej regularnej (płaskiej lub przestrzennej) od punktu A do B.

Gdy krzywa całkowania jest krzywą zamkniętą, to całkę nazywa się całką okrężną.

Spis treści

1 Całka nieskierowana
- 1.1 Całka w przestrzeni rzeczywistej
- 1.2 Całka w przestrzeni zespolonej
  - 1.2.1 Własności
  - 1.2.2 Twerdzenia dla krzywoliniowej całki zespolonej
2 Całka skierowana
3 Zobacz też

[edytuj] Całka nieskierowana

Całka nieskierowana oznacza całkę z funkcji skalarnej (o wartościach rzeczywistych lub zespolonych). Istnieją zasadniczo dwa rodzaje takiej całki: rzeczywista i zespolona, zależnie od dziedziny funkcji podcałkowej.

Oznaczenie:

$\int\limits_{\Gamma} f dl$ lub $\int\limits_{AB} f dl$ , gdzie

Γ

jest krzywą o końcach A i B.

Obliczanie

Załóżmy dla uproszczenia że krzywa $Γ$ leży na płaszczyźnie. Jeśli zadana jest ona równaniami parametrycznymi $y=y(t),\ x=x(t)$ , to:

$\int\limits_{\Gamma} f(x, y)dl=\int\limits_{t_0}^{t_1} f(x(t), y(t))\sqrt{(x')^2(t)+(y')^2(t)}dt$

(jeśli krzywa zadana jest równaniem jawnym, to można wziąć $x\ =\ t$ jako parametr)

W zapisie wektorowym:

$\int_\Gamma f\, ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) |\mathbf{r}'(t)|\, dt,$

gdzie r: [a, b] $\to \Gamma$ jest dowolną wzajemnie jednoznaczną parametryzacją krzywej $Γ$ taka, że r(a) = A oraz r(b) = B.

Całka krzywoliniowa rzeczywista znajduje zastosowanie w fizyce np. do obliczania pracy wykonanej przez daną siłę wzdłuż

Całka krzywoliniowa w analizie zespolonej rozumiana jest jako:

$\int\limits_{\Gamma} f(z)dz=\int\limits_{\alpha}^{\beta} f(\gamma(t))\gamma'(t)dt$

gdzie:

$\Gamma\colon z=\gamma(t), t\in[\alpha,\beta]$ - krzywa regularna
$f\colon\gamma([\alpha,\beta])\to\mathbb{C}$ - funkcja całkowalna (np. ciągła).

[edytuj] Własności

Niech $\kappa,\ \lambda\in\mathbb{C},\ \ \ f,\ g$ - funkcje ciągłe na $\gamma([\alpha,\ \beta]),\ \ \ \Gamma,\ \Gamma_1$ - regularna

$\int\limits_{\Gamma} (\kappa f+\lambda g)(z)dz=\kappa\int\limits_{\Gamma} f(z)dz+\lambda\int\limits_{\Gamma} g(z)dz$

$\int\limits_{\Gamma+\Gamma_1} f(z)dz=\int\limits_{\Gamma} f(z)dz+\int\limits_{\Gamma_1} f(z)dz$

$\int\limits_{-\Gamma} f(z)dz=-\int\limits_{\Gamma} f(z)dz$

Jeśli krzywe $\Gamma,\ \Gamma_1$ są równoważne, to $\int\limits_\Gamma f(z)dz=\int\limits_{\Gamma_1} f(z)dz$

$\big|\int\limits_\Gamma f(z)dz\big|\leq M\cdot l$ , gdzie $l\$ - długość krzywej $\Gamma\$ , $M={max}_{z\in\gamma([\alpha,\beta])}|f(z)|$

$\int\limits_\Gamma dz=\int\limits_\alpha^\beta \gamma'(t)dt=\gamma(\beta)-\gamma(\alpha)$

$\int\limits_\Gamma zdz=\int\limits_\alpha^\beta \gamma(t)\gamma'(t)dt={1 \over 2}\int\limits_\alpha^\beta [\gamma^2(t)]'dt={1\over 2}(\gamma^2(\beta)-\gamma^2(\alpha))$

Jeśli $F\$ jest pierwotną funkcji ciągłej w obszarze $D\$ , to całka krzywoliniowa wzdłuż dowolnej krzywej zamkniętej regularnej zawartej w $D\$ jest równa zero

[edytuj] Twerdzenia dla krzywoliniowej całki zespolonej

Twierdzenie
Jeśli $f\$ jest analityczna w obszarze jednospójnym, to całka wzdłuż dowolnej krzywej regularnej zamkniętej w tymże obszarze jest równa zero.

Twierdzenie całkowe Cauchy'ego dla obszarów wypukłych
Jeśli $f\$ jest określona w obszarze wypukłym i jest analityczna oraz $C\$ jest dowolną krzywą zamkniętą regularną w tym obszarze, to $\int\limits_C f(z)dz=0.$

Wzór całkowy Cauchy'ego
Jeżeli $f\$ jest analityczna w obszarze $D\$ i jeśli $C\$ jest krzywą regularną zamkniętą zawartą w $D\$ i zorientowaną dodatnio względem wnętrza, taką że jej wnętrze $C_i\$ leży w $D\$ , to dla każdego $z\in C_i$ zachodzi wzór:

$f(z)={1 \over {2\pi i}}\int\limits_C {{f(w)} \over {w-z}}dw.$

Zobacz też residuum

Uogólniony wzór całkowy Cauchy'ego
Niech $C\$ będzie krzywą regularną zorientowaną dodatnio (względem wnętrza). Jeśli $f\$ jest analityczna w obszarze zawierającym $C\$ wraz z brzegiem, to zachodzi wzór:

$f^{(n)}(z)={{n!} \over {2\pi i}}\int\limits_C {{f(w)} \over {(w-z)^{n+1}}}dw.$

[edytuj] Całka skierowana

Oznaczenie: $\int\limits_{AB} \vec{f}(x, y) \vec{dl} = \int\limits_{AB} X(x, y) dx + Y(x,y) dy$

Obliczanie: jeśli krzywa zadana jest równaniami parametrycznymi (jeśli krzywa zadana jest równaniem jawnym, to można wziąć $x\ =\ t$ jako parametr) $y=y(t),\ x=x(t)$ , to: