Dwumian Newtona

Skocz do: nawigacji, szukaj

Dwumian Newtona lub wzór Newtona to wzór pozwalający wyrazić potęgi sumy dwóch liczb. Jego najprostsza postać to

(a + b)^n = \sum_{k = 0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n-k}

gdzie \binom{n}{k} to symbol Newtona.

Spis treści

[edytuj] Liczby rzeczywiste

Wzór prawdziwy jest dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b \in \mathbb{R}, co pokazuje poniższe twierdzenie.

Twierdzenie. Dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b \in \mathbb{R} i dowolnej liczby naturalnej n \in \mathbb{N} ma miejsce równość

(a + b)^n = \sum_{k = 0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n-k}

Dowód. Dowód przeprowadzimy przy użyciu indukcji matematycznej. Dla n = 1 otrzymujemy

(a + b)^1 = a + b = \binom{1}{0} a b^0 + \binom{1}{1} a^0 b = \sum_{k = 0}^{1} \binom{1}{k} a^k b^{1 - k}

Załóżmy, że wzór zachodzi dla pewnego n. Wtedy dla n + 1 mamy

(a + b)^{n + 1} = (a + b)(a + b)^{n}= (a + b)\sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} a^k b^{n - k} =
= \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} a^{k + 1} b^{n - k} + \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} a^k b^{n - k + 1} =
= \sum_{k = 0}^{n + 1} \binom{n + 1}{k} a^{k} b^{n - k + 1}

co kończy dowód.

[edytuj] Pierścienie

Wzór Newtona nie zachodzi we wszystkich pierścieniach, jednakże jeśli dwa elementy pierścienia x i y komutują ze sobą, to znaczy xy = yx, to wzór ma miejsce. Dowód jest identyczny, jak w przypadku liczb rzeczywistych. Otrzymujemy stąd oczywisty wniosek

Wniosek. Wzór Newtona jest słuszny dla dowolnej pary elementów pierścienia przemiennego.

[edytuj] Uogólnienie

Korzystając z uogólnionego symbolu Newtona możemy wyprowadzić wzór na dowolną (rzeczywistą lub zespoloną) r-tą potęgę sumy.

(x+y)^r=\sum_{k=0}^\infty {r \choose k} x^k y^{r-k}

W szczególności, dostaniemy wzór na tzw. szereg Newtona

(1 + x)^\alpha = \sum_{k=0}^{\infty} \; {\alpha \choose k} \; x^k

[edytuj] Zobacz też

Źródło: „http://pl.wikipedia.org/wiki/Dwumian_Newtona”