Dylatacja
Dylatacja – w matematyce odwzorowanie geometryczne przeprowadzającą dowolną prostą na prostą do niej równoległą.
[edytuj] Przykłady
Jedynymi przykładami dylatacji są
Należy pamiętać, że oba przykłady obejmują odwzorowanie tożsamościowe jako przypadek szczególny, jednokładność zaś dodatkowo obrót o połowę kąta pełnego.
[edytuj] Własności
Złożenie dwóch dylatacji jest dylatacją. Ponieważ odwzorowanie tożsamościowe jest dylatacją i dla każdej dylatacji można znaleźć do niej odwrotną, to przekształcenia dylatacyjne tworzą grupę, tak w geometrii euklidesowej jak i afinicznej.
Jeżeli dylatacja ma punkt stały, to obrazem prostej przechodzącej przez ten punkt jest ta sama prosta. Jeżeli punkt P i jego obraz dylatacyjny P' nie pokrywają się (tzn. nie jest on stały), to obrazem prostej PP' jest ona sama.
Z powyższych własności można wyprowadzić klasyfikację dylatacji ze względu na liczbę punktów stałych. Jeżeli dylatacja
- ma co najmniej dwa punkty stałe, to jest identycznością,
- ma dokładnie jeden punkt stały, to jest jednokładnością,
- nie ma punktów stałych, to jest przesunięciem.
Dylatacje są przekształceniami afinicznymi (jeżeli jest ona jednokładnością, to nawet przekształceniem liniowym), przy czym ustalenie punktu A jako początku lub środka oraz liczby rzeczywistej c (być może ujemnej) określa dylatację, która przeprowadza dowolny punkt X na punkt X' tak, że zachodzi (rozumiany wektorowo) wzór
- A − X' = c(A − X).
